Question

已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，且PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F．求證：DE=DF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：連結(jié)CD，由等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出∠A=∠B=45°，由D為AB的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以得出∠BCD=45°，得出△AED≌△CFD就靠由得出結(jié)論．

解答：證明：∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠AEP=∠CEP=∠CFP=90°．
∵∠C=90°，
∴四邊形EPFC是矩形，
∴CF=EP．
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠45°，
∴∠1=∠A，
∴AE=PE．
∴AE=CF．
∵∠C=90°，AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB．∠DCF=

1

2

∠ACB=45°，
∴∠A=∠DCF．
在△AED和△CFD中

AE=CF ∠A=∠DCF AD=CD

，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．