Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（6，0），點B（0，6），動點C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過O點作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點D（其中C、O、D按逆時針方向排列），連接AB．
（1）當OC∥AB時，∠BOC的度數(shù)為

 

：
（2）連接AD，當OC∥AD時，
①求出點C的坐標；
②直線BC是否為⊙O的切線？請作出判斷，并說明理由．
（3）連接AC，BC，點C在⊙O上的運動過程中，當△ABC的面積最大時，請直接寫出△ABC的最大面積．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點A和點B坐標易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當C點在y軸左側(cè)時，有∠BOC=∠OBA=45°；當C點在y軸右側(cè)時，有∠BOC=180°-∠OBA=135°，從而得出答案；
（2）①過C點作CF⊥x軸于F，易證Rt△OCF∽Rt△AOD，則

CF

OD

=

OC

OA

，即

CF

3

=

3

6

，得出CF=

3

2

，再利用勾股定理計算出OF=

OC2-CF2

=

3 3

2

，則可得到C點坐標；
②由于OC=3，OF=

3

2

，得出∠COF=30°，則可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根據(jù)“SAS”判斷△BOC≌△AOD，從而得出∠BCO=∠ADO=90°，再根據(jù)切線的判定定理可確定直線BC為⊙O的切線．
（3）由△OAB為等腰直角三角形得AB=

2

OA=6

2

，根據(jù)三角形面積公式得到當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計算出OE，然后計算△ABC的面積；

解答：解：（1）∵點A（6，0），點B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴當C點在y軸左側(cè)時，∠BOC=∠OBA=45°，
當C點在y軸右側(cè)時，∠BOC=180°-∠OBA=135°，
∴∠OBA=45°或135°；
故答案為：45°或135°．
（2）如圖：當C在第二象限時，過點C作CF⊥x軸于F，則∠CFO=90°，
∵OC∥AD，
∴∠COF=∠DAO，
∴∠ADO=∠COD=90°，
∴∠ADO=∠CFO，
∴△OCF∽△AOD，
∴

CF

OD

=

OC

OA

，即

CF

3

=

3

6

，
解得：CF=

3

2

，在Rt△OCF中，OF=

OC2-CF2

=

3 3

2

，
∴C點的坐標為（-

3 3

2

，

3

2

），
同理，當C在第一象限時，C點的坐標是（

3 3

2

，

3

2

），
∴C點的坐標為（-

3 3

2

，

3

2

），（

3 3

2

，

3

2

）；
②直線BC為為⊙O的切線，理由如下：
如圖：在Rt△OCF中，OC=3，CF=

3

2

，
∴sin∠COF=

CF

OC

=

1

2

，
∴∠COF=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
在△BOC和△AOD中，

OC=OD ∠BOC=∠AOD BO=AO

，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADO=90°，
∴OC⊥BC，
∴直線BC是⊙O的切線；
（3）∵△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=6

2

，
∴當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，
過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，
如圖：此時C點到AB的距離最大值為CE的長，
∵△OAB為等腰直角三角形，
∴OE=

1

2

AB=3

2

，
∴CE=OC+OE=3+3

2

，△ABC的面積=

1

2

CE•AB=

1

2

×（3+3

2

）×6

2

=9

2

+18，
當點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置時，△ABC的面積最大，最大值為9

2

+18．

點評：本題考查了圓的綜合題，用到的知識點是切線的判定定理、平行線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練運用勾股定理和相似比進行幾何計算是本題的關(guān)鍵．