Question

11．等腰△ABC中，AB=AC，過C點作CQ∥AB，P為BC上任意一點，連接AP．過P點作射線，使∠APQ=∠BAC，PQ交CQ于點Q；
（1）當(dāng)∠BAC=90°時，求證：PA=PQ；                                                             
（2）當(dāng)∠BAC=60°時，求證：PA=PQ；                                                           
（3）當(dāng)∠BAC═α°時，（1）（2）的結(jié)論是否成立，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作PE⊥AC于E，PF⊥CQ于F．只要證明△PAE≌△PQF即可．
（2）如圖2中，作PE⊥AC于E，PF⊥CQ于F．證明方法類似．
（3）如圖3中，結(jié)論不變．證明方法類似．

解答 證明：（1）如圖1中，作PE⊥AC于E，PF⊥CQ于F．

∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=∠ACB=45°，
∵AB∥CQ，
∴∠B=∠BCQ=45°，
∴∠PCA=∠PCQ，∵PE⊥AC，PF⊥CQ，
∴PE=PF，
∵∠EPF=∠ECF=90°，∠BAC=∠ECF=90°，
∴∠EPF=∠BAC=∠APQ=90°，
∴∠APE=∠QPF，
在△APE和△QPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠QPF}\\{PE=PF}\\{∠AEP=∠QFP}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△PQF，
∴PA=PQ．

（2）如圖2中，作PE⊥AC于E，PF⊥CQ于F．

∵AB=AC=BC，
∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，
∵AB∥CQ，
∴∠B=∠BCQ=60°，
∴∠PCA=∠PCQ，∵PE⊥AC，PF⊥CQ，
∴PE=PF，
∵∠EPF+∠ECF=180°，∠ECF=120°
∴∠EPF=∠APQ=60°，
∴∠APE=∠QPF，
在△APE和△QPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠QPF}\\{PE=PF}\\{∠AEP=∠QFP}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△PQF，
∴PA=PQ．

（3）如圖3中，結(jié)論不變．

理由：作PE⊥AC于E，PF⊥CQ于F．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AB∥CQ，
∴∠B=∠BCQ，
∴∠PCA=∠PCQ，∵PE⊥AC，PF⊥CQ，
∴PE=PF，
∵∠EPF+∠ECF=180°，∠BAC+∠ECF=180°，
∴∠EPF=∠BAC=∠APQ，
∴∠APE=∠QPF，
在△APE和△QPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠QPF}\\{PE=PF}\\{∠AEP=∠QFP}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△PQF，
∴PA=PQ．

點評 本題考查三角形綜合題、角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．