Question

14．如圖，直線y=$\frac{1}{2}x+2$與y軸交于點A，與直線y=-$\frac{1}{2}x$交于點B，以AB為邊向右作菱形ABCD，點C恰與原點O重合，拋物線y=（x-h）²+k的頂點在直線y=-$\frac{1}{2}x$上移動．若拋物線與菱形的邊AB、BC都有公共點，則h的取值范圍是（　�。�

• A． -2$≤h≤\frac{1}{2}$
• B． -2≤h≤1
• C． -1$≤h≤\frac{3}{2}$
• D． -1$≤h≤\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 將y=$\frac{1}{2}x+2$與y=-$\frac{1}{2}x$聯(lián)立可求得點B的坐標，然后由拋物線的頂點在直線y=-$\frac{1}{2}x$可求得k=-$\frac{1}{2}h$，于是可得到拋物線的解析式為y=（x-h）²-$\frac{1}{2}$h，由圖形可知當拋物線經(jīng)過點B和點C時拋物線與菱形的邊AB、BC均有交點，然后將點C和點B的坐標代入拋物線的解析式可求得h的值，從而可判斷出h的取值范圍．

解答 解：∵將y=$\frac{1}{2}x+2$與y=-$\frac{1}{2}x$聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴點B的坐標為（-2，1）．
由拋物線的解析式可知拋物線的頂點坐標為（h，k）．
∵將x=h，y=k，代入得y=-$\frac{1}{2}x$得：-$\frac{1}{2}$h=k，解得k=-$\frac{1}{2}h$，
∴拋物線的解析式為y=（x-h）²-$\frac{1}{2}$h．
如圖1所示：當拋物線經(jīng)過點C時．

將C（0，0）代入y=（x-h）²-$\frac{1}{2}$h得：h²-$\frac{1}{2}$h=0，解得：h₁=0（舍去），h₂=$\frac{1}{2}$．
如圖2所示：當拋物線經(jīng)過點B時．

將B（-2，1）代入y=（x-h）²-$\frac{1}{2}$h得：（-2-h）²-$\frac{1}{2}$h=1，整理得：2h²+7h+6=0，解得：h₁=-2，h₂=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
綜上所述，h的范圍是-2≤h≤$\frac{1}{2}$．
故選A．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了一次函數(shù)的交點與一元二次方程組的關系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，通過平移拋物線探究出拋物線與菱形的邊AB、BC均有交點時拋物線經(jīng)過的“臨界點”為點B和點C是解題解題的關鍵．