Question

9．（1）如圖1，三角形ABC中，BO平分∠ABC、CO平分∠ACB，則∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系是∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）如圖2，BO平分△ABC的外角∠CBD、CO平分△ABC的外角∠BCE，則∠BOC與∠A的關(guān)系是∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）請就圖2及圖2中的結(jié)論進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義可得∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可；
（2）由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可證2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證2∠BOC=180°-∠A，即∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可證2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證2∠BOC=180°-∠A，即∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

解答 解：（1）∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
故答案為：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∠BOC與∠A的關(guān)系是∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
故答案為：∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（3）證明：如圖，

∵BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分線，
∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，
∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，
∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠BOC=180°-∠A，
∴∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

點評 本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．