Question

3．如圖，CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為G，OG：OC=3：5，AB=8．則⊙O的半徑是5；若點(diǎn)E為圓上一點(diǎn)，∠ECD=15°，將$\widehat{CE}$沿弦CE翻折，交CD于點(diǎn)F圖中陰影部分的面積是$\frac{25π}{3}$-$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)AB⊥CD，垂足為G，OG：OC=3：5，AB=8，可以求得⊙O的半徑；要求陰影部分的面積只要做出合適的輔助線，然后利用銳角三角函數(shù)、扇形的面積和三角形的面積即可解答本題．

解答 解：連接AO，如右圖1所示，
∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，AB=8，
∴AG=$\frac{1}{2}$=4，
∵OG：OC=3：5，AB⊥CD，垂足為G，
∴設(shè)⊙O的半徑為5k，則OG=3k，
∴（3k）²+4²=（5k）²，
解得，k=1或k=-1（舍去），
∴5k=5，
即⊙O的半徑是5；
如圖2所示，將陰影部分沿CE翻折，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，
∵∠ECD=15°，由對(duì)稱性可知，∠DCM=30°，S_陰影=S_弓形CBM，
連接OM，則∠MOD=60°，
∴∠MOC=120°，
過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD于點(diǎn)N，
∴MN=MO•sin60°=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_陰影=S_扇形OMC-S_△OMC=$\frac{120×π×{5}^{2}}{360}$-$\frac{25\sqrt{3}}{4}$=$\frac{25π}{3}$-$\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
即圖中陰影部分的面積是：$\frac{25π}{3}$-$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：5，$\frac{25π}{3}$-$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查垂徑定理、扇形的面積、翻折變換，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．