Question

16．小明看見搬水工人每天挑水上下樓很辛苦，就設(shè)計(jì)了一個(gè)簡易的升降裝置，裝置由兩根鋼管AC、BC構(gòu)成，如圖所示，AB兩點(diǎn)固定在墻上，C點(diǎn)裝一個(gè)電動(dòng)定滑輪，將純凈水吊上各層樓．已知，AB兩點(diǎn)的距離是3米，∠ACB=30°，∠CAF=60°．
（1）求C點(diǎn)到墻的距離；
（2）因教學(xué)樓建在一個(gè)坡上，斜坡EF長4米，坡度i=1：3，小明發(fā)現(xiàn)吊繩的落點(diǎn)Q在斜坡上，使用時(shí)很不方便，于是在保持鋼管總長度不變的情況下，通過改變角度的辦法，使吊繩落點(diǎn)Q恰好與E點(diǎn)重合，此時(shí)∠ABC′=60°，求AC′的長度（保留小數(shù)點(diǎn)后1位）
（$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{10}$≈3.16）

Answer 1

分析 （1）作CG⊥AF于G，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠ABC=30°，求出AC，根據(jù)正弦的概念求出CG；
（2）作C′M⊥AF于M，設(shè)DF=k，根據(jù)坡度的概念得到DE=3k，根據(jù)勾股定理用k表示EF，求出k的值，根據(jù)正弦的概念計(jì)算即可．

解答 解：（1）作CG⊥AF于G，
∵∠ACB=30°，∠CAF=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=AB=3米，
∴CG=AC•sin∠CAG=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$≈2.6，
答：C點(diǎn)到墻的距離約為2.6米；
（2）作C′M⊥AF于M，
∵斜坡EF長4米，坡度i=1：3，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
設(shè)DF=k，則DE=3k，
由勾股定理得，EF=$\sqrt{10}$k，
∴$\sqrt{10}$k=4，
解得，k=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴DE=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∵sin∠ABC′=$\frac{C′M}{BC′}$，
∴BC′=$\frac{4\sqrt{30}}{5}$，
∴AC′=3+3$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{30}}{5}$≈3.8，
答：AC′的長度約為3.8米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義、掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵．