Question

1．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點D是劣弧AC上的一點，連結(jié)AD并延長與BC的延長線交于點E，AC、BD相交于點M．
（1）求證：BC•CE=AC•MC；
（2）若點D是劣弧AC的中點，tan∠ACD=$\frac{1}{3}$，MD•BD=10，求⊙O的半徑．
（3）若CD∥AB，過點A作AF∥BC，交CD的延長線于點F，求$\frac{CF}{CD}$-$\frac{BC}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）要證明BC•CE=AC•MC，即證明$\frac{BC}{AC}$=$\frac{MC}{CE}$，即證明△CBM∽△CAE；
（2）因為點D是劣弧$\widehat{AC}$的中點，所以$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，所以∠ABD=∠CAE=∠ACD，進(jìn)而證明△AMD∽△BAD，可得AD²=MD•BD=10，再由tan∠ACD=tan∠ABD=$\frac{1}{3}$求出BD的長度，利用勾股定理求出直徑AB的長度后，即可求出半徑的長度；
（3）因為CD∥AB，AF∥BC，所以△CDE∽△BAE，△ADF∽△DEC，利用對邊的比相等可得$\frac{BC}{CE}$=$\frac{DF}{CD}$，所以$\frac{CF}{CD}$-$\frac{BC}{CE}$=$\frac{CF}{CD}$-$\frac{DF}{CD}$．

解答 解：（1）∵$\widehat{CD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠MBC=∠CAE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCM=∠ACE=90°，
∴△CBM∽△CAE，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{MC}{CE}$，
∴BC•CE=AC•MC；

（2）∵點D是劣弧$\widehat{AC}$的中點，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$；
∴∠ABD=∠MBC，∠ACD=∠CAE
∵∠MBC=∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE=∠ACD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴△AMD∽△BAD，
∴$\frac{MD}{AD}$=$\frac{AD}{BD}$，
∴AD²=MD•BD=10，
∴AD=$\sqrt{10}$，
∵tan∠ACD=tan∠ABD=$\frac{1}{3}$
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，
∴BD=3$\sqrt{10}$
∵AB²=AD²+BD²，
∴AB=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}+（3\sqrt{10}）^{2}}$=10
∴⊙O的半徑為：$\frac{1}{2}$AB=5；

（3）∵CD∥AB，
∴△CDE∽△BAE，
∴$\frac{BC}{CE}$=$\frac{AD}{DE}$，
∵AF∥CE，
∴△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{DF}{CD}$，
∴$\frac{BC}{CE}$=$\frac{DF}{CD}$，
∴$\frac{CF}{CD}$-$\frac{BC}{CE}$=$\frac{CF}{CD}$-$\frac{DF}{CD}$=$\frac{CF-DF}{CD}$=$\frac{CD}{CD}=1$．

點評 此題屬于圓的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值的知識，綜合性較強，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來．