Question

20．小明在參加數(shù)學(xué)興趣活動小組時(shí)，探究如圖甲這一基本圖形．
【問題】：如圖甲，AB∥CD，試探究∠B、∠E、∠D三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【拓展】：將圖甲變?yōu)閳D乙、圖丙（其中AB∥CD不變），請你直接寫出相應(yīng)的結(jié)論：圖乙：∠B+∠E+∠D=360°；圖丙：∠B+∠F+∠D=∠E+∠G．
【應(yīng)用】：如圖丁，運(yùn)用上面的結(jié)論解決問題：AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD=120°，求∠BED的度數(shù)．

Answer 1

分析 【問題】過點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)AB∥CD得出AB∥EF∥CD，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
【拓展】圖乙：過點(diǎn)E作EF∥AB，故可得出AB∥EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；圖丙中，分別過點(diǎn)E、F、G作EH∥AB，MF∥AB，GN∥CD，則AB∥EH∥MF∥GN∥CD，由此可得出結(jié)論；
【應(yīng)用】過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB．根據(jù)EG∥AB，F(xiàn)H∥AB可知∠5=∠ABE，∠3=∠1；再根據(jù)AB∥CD，EG∥CD，F(xiàn)H∥CD得出∠6=∠CDE，∠4=∠2，由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE可得出結(jié)論．

解答 解：【問題】∠E=∠B+∠D．
理由：過點(diǎn)E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠E=∠B+∠D．

【拓展】圖乙：過點(diǎn)E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°，
∴∠B+∠BED+∠D=360°，即∠B+∠E+∠D=360°；
圖丙：分別過點(diǎn)E、F、G作EH∥AB，MF∥AB，GN∥CD，
則AB∥EH∥MF∥GN∥CD，
同（1）可得，∠B+∠MFE=∠BEF①，∠MFG+∠D=∠FGD②，
①+②得，∠B+∠D+∠EFG=∠BEF+∠DGF，即∠B+∠F+∠D=∠E+∠G．
故答案為：∠B+∠F+∠D=∠E+∠G；

【應(yīng)用】如圖所示，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB．
∵EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，
∴∠5=∠ABE，∠3=∠1；
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，F(xiàn)H∥CD，
∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=120°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=$\frac{1}{2}$（∠5+∠6）=$\frac{1}{2}$∠BFD=$\frac{1}{2}$×120°=60°．

點(diǎn)評 本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出平行線是解答此題的關(guān)鍵．