Question

11．如圖，拋物線y=-x²-2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C
（1）求A、B、C的坐標(biāo)；
（2）過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G．若FG=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AC，求點F的坐標(biāo)；
（3）E（0，-2），連接BE．將△OBE繞平面內(nèi)的某點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△O′B′E′，O、B、E的對應(yīng)點分別為O′、B′、E′．若點B′、E′兩點恰好落在拋物線上，求點B′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）對于拋物線分別令x=0，y=0即可解決問題．
（2）先求出AC的解析式，由題意可知FG=2，設(shè)F（m，-m²-2m+3），則G（m，m+3），則有|-m²-2m+3-（m+3）|=2，解方程即可．
（3）如圖2中，旋轉(zhuǎn)90°后，對應(yīng)線段互相垂直且相等，則BE與B’E’互相垂直且相等．設(shè)B’（t，-t²-2t+3），則E’（t+2，-t²-2t+3-1）．因為E’在拋物線上，則有-（t+2）²-2（t+2）+3=-t²-2t+3-1，解方程即可．

解答 解：（1）對于拋物線y=-x²-2x+3，
令x=0得y=3，∴C（0，3），
令y=0，則-x²-2x+3=0解得x=-3或1，
∴A（-3，0）；B（1，0）；C（0，3）．

（2）如圖1中，

∵A（-3，0），C（03），
∴直線AC解析式為y=x+3，OA=OC=3，
∴AC=3$\sqrt{2}$，F(xiàn)G=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AC=2
設(shè)F（m，-m²-2m+3），則G（m，m+3），
則|-m²-2m+3-（m+3）|=2，
解得m=-1或-2或$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，
則F點的坐標(biāo)為（-1，4）或（-2，3）或（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）．

（3）如圖2中，旋轉(zhuǎn)90°后，對應(yīng)線段互相垂直且相等，則BE與B’E’互相垂直且相等．

設(shè)B’（t，-t²-2t+3），則E’（t+2，-t²-2t+3-1）
∵E’在拋物線上，則-（t+2）²-2（t+2）+3=-t²-2t+3-1，
解得，t=-$\frac{7}{4}$，則B’的坐標(biāo)為（-$\frac{7}{4}$，$\frac{55}{16}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法，學(xué)會用方程的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程，本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中考常考題型．