Question

1．如圖，若AC=BD，AC⊥BD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH為正方形．

Answer 1

分析 由三角形中位線定理可先證明四邊形EFGH為平行四邊形，再由AC=BD，可證明其為菱形，結(jié)合AC⊥BD，可得∠FEH=90°，可證明四邊形EFGH為正方形．

解答 證明：∵E，F(xiàn)是AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理可得HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
同理可得EH∥FG，EH=$\frac{1}{2}$BD，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四邊形EFGH為菱形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴四邊形EFGH為正方形．

點(diǎn)評 本題主要考查正方形的判定及三角形中位線定理，根據(jù)三角形中位線定理證明四邊形EFGH為菱形是解題的關(guān)鍵．