Question

13．如圖，已知正方形ABCD的邊長是2厘米，E是CD邊的中點，F(xiàn)在BC邊上移動，當AE恰好平分∠FAD時，CF=$\frac{1}{2}$厘米．

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；首先證明△ADE≌△AME，得到∠AED=∠AEM；同理可證∠MEF=∠CEF，進而證明△AEF為直角三角形，運用射影定理即可解決問題．

解答 解：如圖，連接EF，過點E作EM⊥AF于點M；
∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，且點E為DC的中點，
∴∠D=90°，DE=1；
∵AE平分∠FAD，
∴ME=DE=1；在△ADE與△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{DE=ME}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AME（HL），
∴∠AED=∠AEM，AM=AD=2，
同理可證：∠MEF=∠CEF，CF=MF；
∴∠AEF=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
即△AEF為直角三角形，
∴ME²=AM•MF，而ME=1．AM=2，
∴MF=$\frac{1}{2}$，CF=MF=$\frac{1}{2}$．
故答案為$\frac{1}{2}$．

點評 該題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)、射影定理等幾何知識點及其應用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，為運用射影定理創(chuàng)造條件．