Question

12．如圖，AD是Rt△ABC斜邊BC上的中線，過A，D兩點(diǎn)的⊙O交AC于E，弦EF∥BC．
（1）求證：AD=EF；
（2）若O在AC邊上，且⊙O與BC邊相切，當(dāng)EF=2時，求$\widehat{EF}$的長．

Answer 1

分析 （1）連接DF，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出AD=CD，得出∠DAC=∠C，根據(jù)圓周角定理得出∠DFE=∠DAC，即可得出∠DFE=∠C，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可證得FD∥EC，得出四邊形EFDC是平行四邊形，即可證得結(jié)論；
（2）連接OF，DE，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和切線的性質(zhì)得出∠DAC=∠C=∠EDC，根據(jù)圓周角定理得出∠ADE=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠C=30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠EOF=120°，解直角三角形求得半徑的長，然后根據(jù)弧長公式即可求得．

解答 （1）證明：如圖1，連接DF，
∵AD是Rt△ABC斜邊BC上的中線，
∴AD=DC，
∴∠DAC=∠C，
∵∠DFE=∠DAC，
∴∠DFE=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠CEF+∠C=180°，
∴∠DFE+∠CEF=180°，
∴FD∥EC，
∴四邊形EFDC是平行四邊形，
∴EF=DC，
∴AD=EF．
（2）解：如圖2，連接OF，DE，
∵AD是Rt△ABC斜邊BC上的中線，
∴AD=DC，
∴∠DAC=∠C，
∵⊙O與BC邊相切，
∴∠EDC=∠DAC，
∴∠EDC=∠C，
∵AE是直徑，
∴∠ADE=90°，
∵∠ADC+∠DAC+∠C=180°，
∴90°+3∠C=180°，
∴∠C=30°，
∵EF∥BC，
∴∠OEF=∠C=30°，
∴OE=$\frac{\frac{1}{2}EF}{cos30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF=30°，
∴∠EOF=120°，
∴$\widehat{EF}$的長=$\frac{120π×\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$π．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．