Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，∠1=∠C．
（1）求證：CB∥PD；
（2）若AB=5，sin∠P=

3

5

，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,垂徑定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得∠C=∠P，加上∠1=∠C，則∠1=∠P，然后根據(jù)平行線的判定方法即可得到CB∥PD；
（2）連結(jié)AC，如圖，根據(jù)垂徑定理，由CD⊥AB得到

BC

=

BD

，再根據(jù)圓周角定理得∠A=∠P，接著由AB為直徑得到∠ACB=90°，然后在Rt△ACB中，利用∠A的正弦求BC的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵∠C=∠P，
而∠1=∠C，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PD；
（2）解：連結(jié)AC，如圖，
∵CD⊥AB，
∴

BC

=

BD

，
∴∠A=∠P，
∴sinA=sin∠P=

3

5

，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，
sinA=

BC

AB

=

3

5

，
而AB=5，
∴BC=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了垂徑定理和銳角三角函數(shù)．