Question

7．如圖，菱形ABCD中，分別延長(zhǎng)DC，BC至點(diǎn)E，F(xiàn)，使CE=CD，CF=CB，連接DB，BE，EF，F(xiàn)D．
（1）如圖1，求證：四邊形DBEF是矩形；
（2）如圖2，當(dāng)∠DFB=30°時(shí)，連接AE交BF于點(diǎn)G，連接DG，若AB=2，求DG的值．

Answer 1

分析 （1）由CE=CD，CF=CB，可證得四邊形DBEF是平行四邊形，又由菱形ABCD中，CB=CD，可證得DE=BF，即可得四邊形DBEF是矩形；
（2）易證得△ABG≌△ECG，△BCD是等邊三角形，則可得BG=CG，然后由三線合一的知識(shí)，證得DG是BC的垂直平分線，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵CE=CD，CF=CB，
∴四邊形DBEF是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴DE=BF，
∴四邊形DBEF是矩形；

（2）∵四邊形DBEF是矩形，
∴∠BDF=90°，
∵∠DFB=30°，
∴∠DBF=60°，
∵AB∥CE，
∴∠ABG=∠ECG，
∵CD=CB=CE=AB=2，
∴△ABG≌△ECG，
∴BG=CG=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴DG⊥BC，DC=DB，
∴DG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．注意證得△ABG≌△ECG，△BCD是等邊三角形是關(guān)鍵．