Question

17．如圖1，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，AD=AE．
（1）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則DB與CE有何數(shù)量關(guān)系，請給予證明．
（2）拓展運(yùn)用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)監(jiān)控得到結(jié)論；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，求得∠CEP=∠CPE=45°，由勾股定理可得到PE=2$\sqrt{2}$，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△PEA是直角三角形，求得∠PEA=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）DB=CE．
理由：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
得$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△EAC，
∴DB=CE；

（2）如圖，將△CPB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△CEA，連接PE，
∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2$\sqrt{2}$，
在△PEA中，PE²=（2$\sqrt{2}$）²=8，AE²=1²=1，PA²=3²=9，
∵PE²+AE²=AP²，
∴△PEA是直角三角形，
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA，
∴∠BPC=∠CEA=135°．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．