Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，點(diǎn)E是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E不與D重合），過點(diǎn)E作EF∥AC，交AD于點(diǎn)F（當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，EF與AC重合），把△DEF沿著EF對折，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，如圖①．
（1）求CD的長及∠1的度數(shù)；
（2）設(shè)DE=x，△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求x為何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？
（3）當(dāng)點(diǎn)G剛好落在線段BC上時(shí)，如圖②，若此時(shí)將所得到的△EFG沿直線CB向左平移，速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)E點(diǎn)移動(dòng)到線段AB上時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)平移時(shí)間為t（秒），在平移過程中是否存在某一時(shí)刻t，使得△ABE為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),直角梯形,解直角三角形

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題,存在型,分類討論

分析：（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，構(gòu)建Rt△AHB和矩形AHCD；通過解直角三角形、矩形的性質(zhì)求得CD=AH=3

3

．則tan∠CAD=

CD

AD

=

3 3

9

=

3

3

，故∠CAD=30°；然后由平行線的性質(zhì)推知∠1=∠CAD=30°；
（2）根據(jù)△EFG≌△EFD列出y的表達(dá)式，從而討論x的范圍，分別得出可能的值即可；
（3）需要分類討論：以AB為底和以AB為腰的情況．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．

∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，
∴AH=AB•sinB=3

3

∵四邊形ABCD為直角梯形
∴四邊形AHCD為矩形
∴CD=AH=3

3

．
∵tan∠CAD=

CD

AD

=

3 3

9

=

3

3

∴∠CAD=30°
∵EF∥AC
∴∠1=∠CAD=30°；

（2）點(diǎn)G恰好在BC上，由對折的對稱性可知△FGE≌△FDE，

∴GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°
∴∠GEC=60°
∵△CEG是直角三角形
∴∠EGC=30°
∴在Rt△CEG中，EC=

1

2

EG=

1

2

x
由DE+EC=CD  得x+

1

2

x=3

3

∴x=2

3

；
當(dāng)0＜x≤2

3

時(shí)，

y=S_△EGF=S_△EDF=

1

2

•DE•DF=

1

2

•x•

3

x=

3

2

x2
∵

3

2

＞0，對稱軸為y軸
∴當(dāng)0＜x≤2

3

，y隨x的增大而增大
∴當(dāng)x=2

3

時(shí)，y_最大值=6

3

；
當(dāng)2

3

＜x≤3

3

時(shí)，設(shè)FG，EG分別交BC于點(diǎn)M、N

∵DE=x，
∴EC=3

3

-x，NE=2(3

3

-x)，
∴NG=GE-NE=x-2(3

3

-x)=3x-6

3

．
又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°，
∴MG=NG•tan30°=

3

3

(3x-6

3

)S△MNG=

1

2

•NG•MG=

1

2

(3x-6

3

)×

3

3

(3x-6

3

)=

3

6

(3x-6

3

)2
y=S_△EGF-S_△MNG=

3

2

x2-

3

6

(3x-6

3

)2=-

3

x2+18x-18

3

．
∵-

3

＜0，對稱軸為直線x=-

18

2×(- 3 )

=3

3

∴當(dāng)2

3

＜x≤3

3

時(shí)，y有最大值，
∴當(dāng)x=3

3

時(shí)，y最大值=

4× 3 ×18 3 -182

-4 3

=9

3

．
綜合兩種情形：由于6

3

＜9

3

∴當(dāng)x=3

3

時(shí)，y的值最大，y的最大值為9

3

；

（3）由題意可知：AB=6，分三種情況：
①若AE=BE，解得t=9
②若AB=AE，解得t=9-2

6

③若BA=BE，解得t=12-

33

．

點(diǎn)評：本題考查直角梯形與三角形的綜合，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識，然后將所求的題目具體化，從而利用所學(xué)的知識建立模型，然后有序解答．