Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在CA延長線上，DE⊥CE，CE=CB，DF平分∠EDC交AB于點(diǎn)F，連接DF．

（1）∠EFD=90°+

1

2

∠ECD；
（2）設(shè)DF的延長線交BC于點(diǎn)G，連接FC，若FG：DF=3：2，請(qǐng)你探究線段CF與線段AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：綜合題,探究型

分析：（1）過點(diǎn)F作FP⊥CD，F(xiàn)Q⊥DE，F(xiàn)R⊥CE，點(diǎn)P，Q，R分別為垂足，連接CF，由DF平分∠EDC，利用角平分線定理得到FP=FQ，根據(jù)三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到ERFQ為矩形，利用矩形的對(duì)邊相等，等量代換得到RE=FQ=FP，根據(jù)三角形ABC為等腰直角三角形得到∠B=∠CAB=45°，確定出三角形APF為等腰直角三角形，得到PF=AP=FQ=ER，進(jìn)而確定出CR=CP，再由CF=CF，利用HL得到三角形CFR與三角形CFP全等，進(jìn)而得到FR=FP，∠RCF=∠PCF，等量代換得到FR=FQ，利用角平分線逆定理得到EF為角平分線，得到∠CEF=∠DEF=45°，利用內(nèi)角和定理及等量代換即可得證；
（2）根據(jù)CF與DF為角平分線，求出∠FCD+∠FDC的度數(shù)，利用外角性質(zhì)得到∠GFC=45°，過F作FH⊥BC，過G作GK⊥CF，交FH于點(diǎn)N，由FH與CD平行，得到三角形FGH與三角形GCD相似，由相似得比例列出比例式，表示出GH，HC，進(jìn)而表示出GC，根據(jù)題意得到三角形GKF為等腰直角三角形，得到GK=FK，再利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，根據(jù)一對(duì)直角相等，利用ASA得到三角形GCK與三角形FNK全等，得到NF=CG，表示出NF，由三角形GHN與三角形FHC相似，得比例，表示出HN，利用勾股定理表示出CF，根據(jù)FP=CH，表示出FP，由三角形APF為等腰直角三角形，表示出AF，即可確定出AF與CF的數(shù)量關(guān)系．

解答：（1）證明：過點(diǎn)F作FP⊥CD，F(xiàn)Q⊥DE，F(xiàn)R⊥CE，點(diǎn)P，Q，R分別為垂足，連接CF，
∵DF平分∠EDC，
∴FP=FQ，
∵∠CED=∠ERF=∠FQE=90°，
∴四邊形ERFQ為矩形，
∴RE=FQ=FP，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵∠FPA=90°，即△APF為等腰直角三角形，
∴FP=PA=FQ=ER，
∵CE=CA，
∴CE-RE=CA-PA，即CR=CP，
在Rt△CRF和Rt△CPF中，

CR=CP CF=CF

，
∴Rt△CRF≌Rt△CPF（HL），
∴FR=FP，∠RCF=∠PCF，
∴FR=FQ，
∵FQ⊥DE，F(xiàn)R⊥CE，
∴∠CEF=∠DEF=

1

2

∠CED=45°，
則∠EFD=180°-∠FED-∠FDE=180°-

1

2

（∠CED+∠CDE）=180°-

1

2

（180°-∠ECD）=90°+

1

2

∠ECD；

（2）解：∵∠FCD+∠FDC=

1

2

（∠ECD+∠EDC）=

1

2

（180°-∠CED）=

1

2

（180°-90°）=45°，
∴∠GFC=∠FCD+∠FDC=45°，
過F作FH⊥BC，過G作GK⊥CF，交FH于點(diǎn)N，
∵FH∥CD，
∴△GHF∽△GCD，
∴

GH

HC

=

GF

FD

=

3

2

，
設(shè)GH=3a，HC=2a，則GC=5a，
∵GK⊥FC，∠GFC=45°，
∴∠KGF=45°，KG=KF，
∵∠GCK+∠CGK=∠GCK+∠CFH=90°，
∴∠CGK=∠CFH，
在△GKC和△FKN中，

∠CGK=∠CFH KG=KF ∠CKG=∠FKN=90°

，
∴△GKC≌△FKN（ASA），
∴NF=CG=5a，
∵∠GHN=∠FHC=90°，∠HGN=∠HFC，
∴△GHN∽△FHC，
∴

HN

HC

=

HG

HF

，即

HN

2a

=

3a

HN+5a

，
解得：HN=a或HN=-6a（舍去），
∴CF=

CH2+HF2

=

(2a)2+(6a)2

=2

10

a，
∵矩形FHCP，
∴PF=HC=2a，
∴AF=

2

PF=2

2

a，
∴

FC

FA

=

2 10 a

2 2 a

=

5

，
則FC=

5

FA．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線定理及逆定理，勾股定理，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．