Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4，3），B（-6，0），O是原點(diǎn)，點(diǎn)M是OB邊上異于O，B的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥AB，點(diǎn)P是AB邊上的任意點(diǎn)，連接AM，PM，PN，BN．設(shè)點(diǎn)M（x，0）．
（1）求出OA所在直線的解析式，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）若$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△ANB}}$=$\frac{2}{3}$時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出直線OA的解析式，再由B、M的坐標(biāo)以及MN∥AB即可得出$\frac{ON}{OA}=\frac{OM}{AB}=\frac{1}{6}$，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）由MN∥AB利用平行線間距離處處相等即可得出S_△PMN=S_△BMN，S_△ANB=S_△AMB，根據(jù)$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△ANB}}$=$\frac{2}{3}$即可得出$\frac{{S}_{△BMN}}{{S}_{△AMB}}$=$\frac{\frac{1}{2}BM•{y}_{N}}{\frac{1}{2}BM•{y}_{A}}$=$\frac{2}{3}$，再結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，將其代入直線ON中即可求出x值，從而得出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線OA的解析式為y=kx（k≠0），
將點(diǎn)A（-4，3）代入y=kx中，得：3=-4k，解得：k=-$\frac{3}{4}$，
∴OA所在的直線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x．
∵B（-6，0），M（-1，0），
∴OB=6，OM=1，
又∵M(jìn)N∥AB，
∴$\frac{ON}{OA}=\frac{OM}{AB}=\frac{1}{6}$，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之比為$\frac{1}{6}$，
∵A（-4，3），
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為-$\frac{2}{3}$，
將x=-$\frac{2}{3}$代入y=-$\frac{3}{4}$x得：y=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（2）∵M(jìn)N∥AB，
∴S_△PMN=S_△BMN，S_△ANB=S_△AMB，
∵$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△ANB}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△BMN}}{{S}_{△AMB}}$=$\frac{\frac{1}{2}BM•{y}_{N}}{\frac{1}{2}BM•{y}_{A}}$=$\frac{2}{3}$，
∴y_N=$\frac{2}{3}$y_A=2．
令y=-$\frac{3}{4}$x中y=2，則x=-$\frac{8}{3}$，
∴當(dāng)$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△ANB}}$=$\frac{2}{3}$時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-$\frac{8}{3}$，2）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行線的性質(zhì)以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）找出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之比為$\frac{1}{6}$；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)找出S_△PMN=S_△BMN，S_△ANB=S_△AMB．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)找出線段之間的關(guān)系是關(guān)鍵．