Question

如圖，已知直角△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段BC上且DE=BE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連結(jié)OE，若AC=6，求OE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,三角形中位線定理

專題：

分析：（1）證明：連接0E，0D，根據(jù)BO=OD，DE=BE，OE=OE，可證明△DOE≌△BOE，即可得出∠ODE=∠ABC=90°，再由點(diǎn)D在圓上，即可得出DE是⊙O的切線；
（2）可證明OE是△ABC的中位線，可得出OE=3．

解答：（1）證明：連接OE，OD，
在△DOE和△BOE中，

OD=OB DE=BE OE=OE

，
∴△DOE≌△BOE，
∴∠ODE=∠ABC=90°°，
∵點(diǎn)D在圓上，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠A+∠C=90°，∠A=∠ODA，
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE，
∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∵O為AB的中點(diǎn)，
∴OE是△ABC的中位線，
∵AC=6，
∴OE=3．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)以及三角形的中位線定理，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．