Question

7．為解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我們?cè)O(shè)x²-1=y，則y²=（x²-1）²，則原方程化為y²-5y+4=0，解此方程，得y₁=1，y₂=4．
當(dāng)y=1時(shí)，x²-1=1，x²=2．∴x=±$\sqrt{2}$；
當(dāng)y=4時(shí)，x²-1=4，x²=5，∴x=±$\sqrt{5}$．
∴原方程的解為x₁=-$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$，x₃=-$\sqrt{5}$，x₄=$\sqrt{5}$
在上面的解答過程中，我們把x²-1看成一個(gè)整體，用字母y代替（即換元），使得問題簡(jiǎn)單化．明朗化，解答過程更清晰，這是解決數(shù)學(xué)問題中的一種重要方法-換元法，仿照上述方法，解答下列問題：
（1）解方程：x⁴-3x²-4=0．
（2）直角三角形中，兩條直角邊分別為a，b，且滿足（a²+b²）（a²+b²+1）=12，求這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x²=y，則x⁴=y²．則方程即可變形為y²-3y-4=0，解方程即可求得y即x²的值；
（2）設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理c²=a²+b²代入方程求解即可．

解答 解：（1）設(shè)x²=y，x⁴=y²，則原方程可化為y²-3y-4=0，
解得y₁=-1，y₂=4．
當(dāng)y=-1時(shí)，x²=-1，舍去；
當(dāng)y=4時(shí)，x²=4，x=±2．
故原方程的解為：x₁=2，x₂=-2；
（2）設(shè)斜邊為c，
∵a，b是一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)，
∴（a²+b²）（a²+b²+1）=12，根據(jù)勾股定理得：c²（c²+1）-12=0
即（c²-3）（c²+4）=0，
∵c²+4≠0，
∴c²-3=0，
解得：c=$\sqrt{3}$或c=-$\sqrt{3}$（舍去）．
則直角三角形的斜邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了換元法解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．