Question

認真閱讀材料，然后回答問題：
我們初中學(xué)習(xí)了多項式的運算法則，相應(yīng)的我們可以計算出多項式的展開式，如：（a+b）¹=a+b，
（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，…
下面我們依次對（a+b）ⁿ展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn)，當n取正整數(shù)是可以單獨列成表中的形式：

上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：
（1）（a+b）ⁿ展開式中共有多少項？
（1）請寫出多項式（a+b）⁵的展開式？
（2）請根據(jù)上面的規(guī)律計算2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1⁵．

Answer 1

考點：整式的混合運算

專題：規(guī)律型

分析：（1）由題意可求得當n=1，2，3，4，…時，多項式（a+b）ⁿ的展開式是一個幾次幾項式，然后找規(guī)律，即可求得答案；
（2）通過觀察可以看出（a+b）⁵的展開式為5次6項式，a的次數(shù)按降冪排列，b的次數(shù)按升冪排列，各項系數(shù)分別為1，5，10，10，5，1；
（3）根據(jù)題意得出原式=（2-1）⁵，進而得出答案．

解答：解：（1）∵當n=1時，多項式（a+b）¹的展開式是一次二項式，
當n=2時，多項式（a+b）²的展開式是二次三項式，
當n=3時，多項式（a+b）³的展開式是三次四項式，
當n=4時，多項式（a+b）⁴的展開式是四次五項式，
…
∴多項式（a+b）ⁿ的展開式是一個n次n+1項式；
即（a+b）ⁿ展開式中共有n+1項；

（2）（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

（3）由題意可得：2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1⁵=（2-1）⁵=1．

點評：此題考查數(shù)字的規(guī)律，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力．