Question

20．如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，∠ACD的平分線交BD、AD于點E、F，若正方形的邊長為1，則AF=2-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作垂線段FG，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：FG=DF，設(shè)AF=x，則FG=DF=1-x，在Rt△AGF中，由勾股定理列方程可得結(jié)論．

解答 解：過F作FG⊥AC于G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵CE平分∠ACD，
∴FG=DF，
∵CF=CF，
∴Rt△GFC≌Rt△DFC（HL），
∴CG=DC=1，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{2}$，
∴AG=$\sqrt{2}$-1，
設(shè)AF=x，則FG=DF=1-x，
在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF²=AG²+GF²，
∴x²=（$\sqrt{2}$-1）²+（1-x）²，
x=2-$\sqrt{2}$，
即AF=2-$\sqrt{2}$，
故答案為：2-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理，熟記各性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．