Question

4．已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，3）
（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式，并說明當(dāng)x＞0時(shí)，隨著x的增大，y如何變化；
（2）若矩形ABCD關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，且對(duì)角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)O，已知點(diǎn)B在第三象限，求B，C，D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，另一個(gè)反比例函數(shù)圖象經(jīng)過D點(diǎn)，試說明這兩個(gè)函數(shù)圖象之間有何位置關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得k=-6，則可確定反比例函數(shù)的性質(zhì)為y=-$\frac{6}{x}$，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷當(dāng)x＞0時(shí)，隨著x的增大，y如何變化；
（2）利用矩形的性質(zhì)，利用關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱和關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求B，C，D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）利用待定系數(shù)法求出過點(diǎn)D的反比例函數(shù)解析式，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷兩個(gè)函數(shù)圖象的位置關(guān)系．

解答 解：（1）把A（-2，3）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-2×3=-6，
所以反比例函數(shù)的性質(zhì)為y=-$\frac{6}{x}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，y隨著x的增大而增大；
（2）因?yàn)榫匦蜛BCD關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，且對(duì)角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)O，
所以點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則C（2，-3），
又因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3），D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）；
（3）設(shè)過D（2，3）的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{a}{x}$，則a=2×3=6，
所以過點(diǎn)D的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{x}$，
函數(shù)y=-$\frac{6}{x}$與y=$\frac{6}{x}$關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象是雙曲線；當(dāng)k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減�。划�(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．