Question

6．探究題：
（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．
填空：①∠AEB的度數(shù)為60°；直接寫出結(jié)論，不用證明．
②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是AD=BE．直接寫出結(jié)論，不用證明．
（2）拓展探究：
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
猜想：①∠AEB=90°；②AE=BE+2CM（CM、AE、BE的數(shù)量關(guān)系）．
證明：①∠AEB=90°，②AE=BE+2CM
（3）解決問題：
如果，如圖2，AD=x+y，CM=x-y，試求△ABE的面積（用x，y表示）．

Answer 1

分析 （1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)；
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE；
（3）由（2）知，BE=AD=x+y，AE=BE+2CM=x+y+2（x-y）=3x-y，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①如圖1，
∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．
故答案為：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案為：AD=BE．

（2）猜想：①∠AEB=90°，②AE=BE+2CM．
理由：如圖2，
∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
故答案為：90°，AE=BE+2CM；

（3）由（2）知，BE=AD=x+y，
AE=BE+2CM=x+y+2（x-y）=3x-y，
∴S_△AEB=$\frac{1}{2}$AE•BE=$\frac{1}{2}$（x+y）（3x-y）=$\frac{3}{2}$x²+xy-$\frac{1}{2}$y²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．