Question

2．如圖，正方形ABCD邊長為6，點E、O、Q分別在邊AB、AD、CD上，點K、G、N都在對角線AC上，當四邊形EBMG和四邊形OKNQ都為正方形時，KG的值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠ACB=45°，∠B=90°，∠BEG=∠BMG=90°，BE=BM=EG=MG，推出△AEG與△CMG是等腰直角三角形，得到AE=EG=CM=GM，根據(jù)勾股定理得到AG=$\sqrt{2}$AE，CG=$\sqrt{2}$CM，得到AG=CG=$\frac{1}{2}$AC，同理得到AK=KN=CN=$\frac{1}{3}$AC，于是得到結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∠B=90°，
∵四邊形EBMG為正方形，
∴∠BEG=∠BMG=90°，BE=BM=EG=MG，
∴∠AEG=∠CMG=90°，
∴△AEG與△CMG是等腰直角三角形，
∴AE=EG=CM=GM，
∴AG=$\sqrt{2}$AE，CG=$\sqrt{2}$CM，
∴AG=CG=$\frac{1}{2}$AC，
∵正方形ABCD邊長為6，
∴AC=6$\sqrt{2}$，
∴AG=CG=3$\sqrt{2}$，
同理△AKO與△CNQ是等腰直角三角形，
∴AK=KN=CN=$\frac{1}{3}$AC，
∴AK=2$\sqrt{2}$，
∴KG=AG-AK=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．