Question

2．閱讀下列材料：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4），
由以上三個(gè)等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}×$3×4×5=20．
根據(jù)以上材料，請(qǐng)你完成下列各題：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11；（寫(xiě)出過(guò)程）
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）根據(jù)以上學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，猜想1×2×3+2×3×4+…+8×9×10=3960．

Answer 1

分析 （1）利用已知材料得出原式=$\frac{1}{3}$×10×11×12，進(jìn)而求出即可；
（2）利用（1）中所求，進(jìn)而求出即可；
（3）仿照已知得出原式=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+$\frac{1}{4}$（9×10×11×12-8×9×10×11）進(jìn)而求出即可．

解答 解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$（10×11×12-9×10×11）
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11）
=$\frac{1}{3}$×10×11×12
=440；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]
=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；

（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12
=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+$\frac{1}{4}$（9×10×11×12-8×9×10×11）
=$\frac{1}{4}$×9×10×11×12
=3960．

點(diǎn)評(píng) 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用找出的規(guī)律解決問(wèn)題．