Question

已知直線l：y=-

4

3

x+4與x軸，y軸分別交于A，B兩點，圓O₁與坐標軸及直線l分別相切于D，E，C，求證：OC⊥CD．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：作輔助線連接O₁D，O₁E，由y=-

4

3

x+4與x軸，y軸分別交于A，B兩點，可求出OA，OB的長，利用勾股定理可求出AB的長，由切線的性質(zhì)可得出AD=AC，BC=BE，列出關(guān)于AD的方程求出AD的長，得出OA=AD=AC，利用等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得出OC⊥CD．

解答：解：如圖，連接O₁D，O₁E，
∵y=-

4

3

x+4與x軸，y軸分別交于A，B兩點，
∴點A（3，0），點B（0，4），即OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
∵圓O₁與坐標軸及直線l分別相切于D，E，C，
∴AD=AC，BC=BE，
∴3+AD=4+（5-AD），解得AD=3，
∴OA=AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，∠AOC=∠ACO，
∵∠ADC+∠ACD+∠AOC+∠ACO=180°，
∴∠ACD+∠ACO=90°，
∴OC⊥CD．

點評：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，求出AD=AO．