Question

14．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax²-（4a+1）x+4（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，直線y=$\frac{1}{3}$x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求b的值；
（2）如圖2，若點(diǎn)D為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，T為拋物線的頂點(diǎn)，連接CD、DT，CD⊥DT，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)A作AF⊥AE，且AF=AE，連接EF交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)；點(diǎn)P是第四象限拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AC上，MP⊥MQ，連接QF，AP，若直線QF垂直于線段AP，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于拋物線y=ax²-（4a+1）x+4，令y=0，則ax（x-4）-（x-4）=0，可得點(diǎn)A坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出b即可．
（2）如圖1中，作TF⊥AD于F．由△TFD∽△DOC，得到$\frac{TF}{OD}$=$\frac{DF}{OC}$，列出方程即可解決問(wèn)題．
（3）如圖2中，拋物線對(duì)稱軸交x軸于G，作EH⊥GM于H，設(shè)M（1，m），Q（n，$\frac{1}{3}$n-$\frac{4}{3}$）．由△EHM≌△GMA，得MG=HE=m，HM=AG=3，得E（1+m，3+m），把E（1+m，3+m）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，求出m，再由∠QMF≌△PMA，推出QM=PM，QF=PA，由Q（n，$\frac{1}{3}$n-$\frac{4}{3}$），可知P（$\frac{10}{3}$-$\frac{1}{3}$n，n），代入拋物線的解析式求出n即可．

解答 解：（1）對(duì)于拋物線y=ax²-（4a+1）x+4，令y=0，則ax（x-4）-（x-4）=0，
∴（ax-1）（x-4）=0，
∴x=$\frac{1}{a}$或4，
∴A（4，0），把A（4，0）代入y=$\frac{1}{3}$x+b，
得0=$\frac{4}{3}$+b，
∴b=-$\frac{4}{3}$．

（2）如圖1中，作TF⊥AD于F．

由題意T（$\frac{4a+1}{2a}$，$\frac{（4a-1）^{2}}{4a}$），D（$\frac{1}{a}$，0），C（0，-$\frac{4}{3}$），
∵DT⊥CD，
∴∠TDC=90°，
∴∠TDF+∠ODC=90°，
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠TDF=∠OCD，∵∠TFD=∠DOC=90°，
∴△TFD∽△DOC，
∴$\frac{TF}{OD}$=$\frac{DF}{OC}$，
∴$\frac{\frac{（4a-1）^{2}}{4a}}{\frac{1}{a}}$=$\frac{\frac{4a+1}{2a}-\frac{1}{a}}{\frac{4}{3}}$，
整理得8a²-2a-3=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{4}$（舍棄），
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．

（3）如圖2中，拋物線對(duì)稱軸交x軸于G，作EH⊥GM于H，設(shè)M（1，m），Q（n，$\frac{1}{3}$n-$\frac{4}{3}$）．

∵△AEF是等腰直角三角形，EM=MF，
∴ME=MF=MA，AM⊥EF，
由△EHM≌△GMA，得MG=HE=m，HM=AG=3，
∴E（1+m，3+m），把E（1+m，3+m）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
3+m=-$\frac{1}{2}$（1+m）²+1+m+4，
解得m=1或-3（舍棄），
∴M（1，1），
∵QM⊥PM，QF⊥PA，
∴∠QMP=∠QKP=90°，
∴∠MQF=∠MPA，
∵∠QMP=∠FMA=90°，
∴∠QMF≌△PMA，
∴QM=PM，QF=PA，
∵Q（n，$\frac{1}{3}$n-$\frac{4}{3}$），可知P（$\frac{10}{3}$-$\frac{1}{3}$n，n），
把點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，得到n=-$\frac{1}{2}$（$\frac{10}{3}$-$\frac{1}{3}$n）²+$\frac{10}{3}$-$\frac{1}{3}$n+4，整理得n²+4n-32=0，
解得n=-8或4（舍棄），
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（4，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造相似三角形或全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．