Question

已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．
（1）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時（如圖1），求證：AE+CF=EF．
（2）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，在圖2這種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明．
（3）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)AE=CF可以求得BF=BE，易求得∠CBF=30°，可得BF=2CF，即可解題；
（2）將RT△ABE順時針旋轉(zhuǎn)120°，可得FG=CG+CF=AE+CF，易證∠GBF=∠EBF=60°，即可求證△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解題；
（3）將RT△ABE順時針旋轉(zhuǎn)120°，可得FG=CG-CF=AE-CF，易證∠GBF=∠EBF=60°，即可求證△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解題．

解答：證明：（1）∵RT△ABE和RT△CBF中，AB=BC，CF=AE，
∴tan∠CBF=tan∠ABE，BF=BE，
∴∠CBF=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠CBF=30°，△BEF是等邊三角形，
∴BF=2CF，BF=EF，
∴EF=2CF=AE+CF；
（2）如圖2，將RT△ABE順時針旋轉(zhuǎn)120°，

∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A點與C點重合，
∴BG=BE，F(xiàn)G=CG+CF=AE+CF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠ABE=∠CBG，
∴∠GBF=60°，
在△GBF和△EBF中，

BG=BE ∠GBF=∠EBF=60° BF=BF

，
∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF=AE+CF；
（3）不成立，新結(jié)論為EF=AE-CF．
理由：如圖3，將RT△ABE順時針旋轉(zhuǎn)120°，

∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A點與C點重合，∠ABE=∠CBG，
∴BG=BE，F(xiàn)G=CG-CF=AE-CF，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°，
∵∠MBN=60°，
∴∠GBF=60°，
在△BFG和△BFE中，

BG=BE ∠GBF=∠EBF=60° BF=BF

，
∴△BFG≌△BFE，（SAS）
∴GF=EF，
∴EF=AE-CF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應角、對應邊相等的性質(zhì)，考查了30°角所對直角邊是斜邊一半的性質(zhì)，本題中求證△BFG≌△BFE是解題的關(guān)鍵．