Question

如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CF⊥AB于點F，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為BD中點，連接AE交CF于點H，連接CE．
（1）求證：點H是CF中點；
（2）求證：CE是⊙O的切線；
（3）若⊙O的半徑為2，BE=3，求CF的長．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥BD，而CF⊥AB，所以CF∥BD，根據(jù)相似的判定方法得△AFH∽△ABE，△AHC∽△AED，利用相似的性質(zhì)得

FH

BE

=

AH

AE

，

CH

DE

=

AH

AE

，所以

FH

BE

=

CH

DE

，而BE=DE，則FH=CH；
（2）根據(jù)圓周角定理由AB為⊙的直徑得∠ACB=90°，則∠BCD=90°，而CE為BD邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CE=BE=DE，則∠2=∠3，而∠1=∠4，所以有∠1+∠2=∠3+∠4，即∠OCE=∠OBE=90°，則OC⊥CE，然后根據(jù)切線的判定定理得CE是⊙O的切線；
（3）先計算出BD=2BE=6，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理計算出AD=2

13

，再證明Rt△ABC∽Rt△ADB，利用相似比計算出AC=

8 13

13

，然后證明△ACF∽△ADB，利用相似比可計算出CF=

24

13

．

解答：（1）證明：∵BD為⊙的切線，
∴AB⊥BD，
∵CF⊥AB，
∴CF∥BD，
∴△AFH∽△ABE，△AHC∽△AED，
∴

FH

BE

=

AH

AE

，

CH

DE

=

AH

AE

，
∴

FH

BE

=

CH

DE

，
而E為BD中點，
∴BE=DE，
∴FH=CH，
即點H是CF中點；
（2）證明：∵AB為⊙的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
而CE為BD邊上的中線，
∴CE=BE=DE，
∴∠2=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠OCE=∠OBE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切線；
（3）解：∵BE=3，
∴BD=2BE=6，
在Rt△ABD中，AB=4，
∴AD=

AB2+BD2

=2

13

，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴

AC

AB

=

AB

AD

，即

AC

4

=

4

2 13

，
∴AC=

8 13

13

，
∵CF∥BD，
∴△ACF∽△ADB，
∴

CF

BD

=

AC

AD

，即

CF

6

=

8 13 13

2 13

，
∴CF=

24

13

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理和勾股定理．