Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別與CD、AB相交于點E、F．
（1）若∠A與∠C互補，∠CDF=40°，求∠ABE的度數(shù)．
（2）若∠A=∠C=90°，試判斷DF與BE有怎樣的位置關(guān)系，并請說明理由．

Answer 1

考點：平行線的判定,余角和補角

專題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠ABC+∠ADC=180°，再根據(jù)角平分線定義得到∠ABE=

1

2

∠ABC，∠CDF=

1

2

∠ADC，而∠CDF=40°，則∠ADC=80°，所以2∠ABE+80°=180°，解得∠ABE=50°；
（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠ABC+∠ADC=180°，再根據(jù)角平分線定義得到∠ABE=

1

2

∠ABC，∠ADF=

1

2

∠ADC，則∠ABE+∠ADF=90°，加上∠AFD+∠ADF=90°，利用等角的余角相等得∠AFD=∠ABE，然后根據(jù)平行線的判定定理得到DF∥BE．

解答：解：（1）∵在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC、∠ADC的平分線分別與CD、AB相交于點E、F．
∴∠ABE=

1

2

∠ABC，∠CDF=

1

2

∠ADC，
而∠CDF=40°，
∴∠ADC=2×40°=80°，
∴2∠ABE+80°=180°，
∴∠ABE=50°；
（2）DF與BE平行．
理由如下：
∵在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC、∠ADC的平分線分別與CD、AB相交于點E、F．
∴∠ABE=

1

2

∠ABC，∠ADF=

1

2

∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=90°，
而∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠ABE，
∴DF∥BE．

點評：本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．也考查了補角和余角．