Question

如圖，點E、F、G、H分別在菱形ABCD的四條邊上，且BE=BF=DG=DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE得到四邊形EFGH．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）設(shè)AB=a，∠A=60°，當BE為何值時，矩形EFGH的面積最大？

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),二次函數(shù)的最值,矩形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，以及平行線的性質(zhì)可以證得∠DGH+∠CGH=90°，則∠HGF=90°，根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形，即可證得；
（2）設(shè)BE的長是x，則利用x表示出矩形EFGH的面積，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：（1）證明：∵DG=DH，
∴∠DHG=∠DGH=

180°-∠D

2

，
同理，∠CGF=

180°-∠C

2

，
∴∠DGH+∠CGF=

360°-(∠D+∠C)

2

，
又∵菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠DGH+∠CGF=90°，
∴∠HGF=90°，
同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，
∴四邊形EFGH是矩形；

（2）AB=a，∠A=60°，則菱形ABCD的面積是：

3

2

a²，
設(shè)BE=x，則AE=a-x，
則△AEH的面積是：

3 (a-x)2

4

，
△BEF的面積是：

3 x2

4

，
則矩形EFGH的面積y=

3

2

a²-

3 (a-x)2

2

-

3

2

x2，
即y=-

3

x²+

3

ax，
則當x=

3 a

2 3

=

a

2

時，函數(shù)有最大值．
此時BE=

a

2

．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確利用x表示出矩形EFGH的面積是關(guān)鍵．