Question

4．已知二次函數(shù)y=ax²-4a+4（a＜0）
（1）若a=-1寫出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）如圖（一）拋物線上有一點(diǎn)P（2，4）若拋物線與x軸交于A，B，且∠APB=90°．求a的值．
（3）如圖（二）若直線y=2x+b與拋物線相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，過(guò)（2）中P點(diǎn)作直線PE，PF，與x軸交于C，D．當(dāng)PC=PD時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）將a=-1代入拋物線可得拋物線解析式，再根據(jù)拋物線解析式可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，得到方程-x²+8=0，解方程得到拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）令y=0，得ax²-4a+4=0，解方程得到x的值，從而得到A（-$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$，0），B（$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$，0），OB=$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$，根據(jù)勾股定理可得PO=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
，由于∠APB=90°，OA=OB，可得OB=PO，得到關(guān)于a的方程，解方程即可求解；
（3）設(shè)點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為F（x₁，ax₁²-4a+4）、E（x₂，ax₂²-4a+4）．如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG∥y軸，過(guò)點(diǎn)P作PG∥x軸，EG、PG相交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)FH∥x軸，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸，F(xiàn)H、PH相交于點(diǎn)H．通過(guò)相似三角形Rt△PGE∽R(shí)t△FHP的對(duì)應(yīng)邊成比例得到$\frac{EG}{PG}$=$\frac{PH}{FH}$，即$\frac{2-{x}_{2}}{{ax}_{2}^{2}-4a}$=$\frac{2-{x}_{1}}{-（{ax}_{1}^{2}-4a）}$，則x₁+x₂=-4，解方程即可求得a的值．

解答 解：（1）∵a=-1，
∴二次函數(shù)y=-x²+8．
∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，8）
令y=0，-x²+8=0
解得x₁=2$\sqrt{2}$，x₂=-2$\sqrt{2}$，
∴A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0）
（2）令y=0，得ax²-4a+4=0，
解得x=±$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$
∴A（-$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$，0），B（$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$，0）
∴OB=$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$
∵P（2，4），
∴PO=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∵∠APB=90°，OA=OB，
∴OB=PO，
∴2$\sqrt{5}$=$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$
解得a=-$\frac{1}{4}$．
（3）設(shè)點(diǎn)F、E的坐標(biāo)分別為F（x₁，ax₁²-4a+4）、E（x₂，ax₂²-4a+4）．
又∵點(diǎn)F、E在直線y=2x+b上，
∴a（x₁+x₂）=2．
如圖二，過(guò)點(diǎn)E作EG∥y軸，過(guò)點(diǎn)P作PG∥x軸，EG、PG相交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)FH∥x軸，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸，F(xiàn)H、PH相交于點(diǎn)H．

∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD．
∵FH∥x軸，
∴∠PFH=∠PDC．
同理，∠EPG=∠PCD，
∴∠FHP=∠PGE，
∴Rt△PGE∽R(shí)t△FHP，
∴$\frac{EG}{PG}$=$\frac{PH}{FH}$，即$\frac{2-{x}_{2}}{{ax}_{2}^{2}-4a}$=$\frac{2-{x}_{1}}{-（{ax}_{1}^{2}-4a）}$，
∴x₁+x₂=-4，
∴a=-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理，相似三角形的判斷與性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，方程思想，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．