Question

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，內(nèi)切圓心為I，外接圓心為O，則OI=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：計(jì)算題

分析：作ID⊥AB于D，IE⊥AC于E，IF⊥BC于F，如圖，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=10，根據(jù)直角三角形外心為斜邊的中點(diǎn)得到AO=

1

2

AB=5，再證明四邊形IECF為正方形，設(shè)⊙I的半徑為r，則CF=CE=r，根據(jù)切線長定理得到BF=BD=8-r，AE=AD=6-r，所以8-r+6-r=10，解得r=2，則AD=4，OD=AO-AD=1，然后在Rt△IOD中利用勾股定理可計(jì)算出OI．

解答：解：作ID⊥AB于D，IE⊥AC于E，IF⊥BC于F，如圖，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∵點(diǎn)O為△ABC的外心，
∴點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴AO=

1

2

AB=5，
∵∠C=90°，ID⊥AB，IE⊥AC，IF⊥BC，
而IF=IE，
∴四邊形IECF為正方形，
設(shè)⊙I的半徑為r，則CF=CE=r，
∴BF=BD=8-r，AE=AD=6-r，
∴8-r+6-r=10，解得r=2，
∴AD=6-2=4，
∴OD=AO-AD=1，
在Rt△IOD中，∵OD=1，ID=2，
∴OI=

OD2+ID2

=

5

．
故答案為

5

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點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了直角三角形的外心．