Question

1．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，給出以下五個(gè)結(jié)論：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④S_{四邊形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合），上述結(jié)論中始終正確有 （　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理，得出△APF≌△BPE，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)對(duì)題中的結(jié)論逐一判斷．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC=PB，∠B=∠CAP=45°，
∵∠APF+∠FPA=90°，∠APF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠APF，
在△BPE和△APF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CAP}\\{BP=AP}\\{∠BPE=∠APF}\end{array}\right.$，
∴△PFA≌△PEB（ASA），即結(jié)論①正確；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點(diǎn)，
∴AP=$\frac{1}{2}$BC，
又∵EF不一定是△ABC的中位線，
∴EF≠AP，故結(jié)論②錯(cuò)誤；
∵△PFA≌△PEB，
∴PE=PF，
又∵∠EPF=90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，故結(jié)論③正確；
∵△PFA≌△PEB，
∴S_△PFA=S_△PEB，
∴S_{四邊形AEPF}=S_△APE+S_△APF=S_△APE+S_△BPE=S_△APB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，故結(jié)論④正確；
綜上，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合），始終正確的有3個(gè)結(jié)論．
故選（C）

點(diǎn)評(píng) 本題以旋轉(zhuǎn)為背景考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題時(shí)需要運(yùn)用等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，三角形的中位線定理等，綜合性較強(qiáng)．根據(jù)題意得出△APF≌△BPE是解答此題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．