Question

如圖：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．
（1）如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過多少秒鐘，△PBQ的面積等于8cm²？
（2）如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，并且點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B后又繼續(xù)在BC上前進(jìn)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C后又繼續(xù)在AC邊上前進(jìn)，經(jīng)過幾秒鐘△PCQ的面積等于9cm²？

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題

分析：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，△PBQ的面積等于8平方厘米，根據(jù)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，表示出BP和BQ的長(zhǎng)可列方程求解．
（2）分三種情況分類討論后列出有關(guān)時(shí)間的一元二次方程求解即可確定答案．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，△PBQ的面積等于8平方厘米，

1

2

（6-x）•2x=8
x=2或x=4．
經(jīng)過2秒或4秒時(shí)面積為8平方厘米．

（2）設(shè)經(jīng)過y秒后，△PCQ的面積等于9cm²．
①0＜y≤4（Q在BC上，P在AB上）時(shí)，如圖：（1）連接PC，
則CQ=8-2y，PB=6-y，
∵S_△PQC=

1

2

CQ×PB，
∴

1

2

×（8-2y）×（6-y）=9，
解得y₁=5+

10

＞4（不合題意，舍去），y₂=5-

10

；

②4＜y≤6（Q在CA上，P在AB上），如圖（2）
過點(diǎn)P作PM⊥AC，交AC于點(diǎn)M，
由題意可知CQ=2y-8，AP=y，
在直角三角形ABC中，sinA=

BC

AC

=

4

5

，
在直角三角形APM中，sinA=

PM

AP

，
即

PM

y

=

4

5

，
∴PM=

4

5

y，
∵S_△PCQ=

1

2

CQ×PM，
∴

1

2

×（2y-8）×

4

5

y=9，
解得y₁=2+

61

2

＞6（舍去），y₂=2-

61

2

＜0（負(fù)值舍去）；

③6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），如圖（3），
過點(diǎn)Q作QD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，
∵∠B=90°，
∴QD∥AB，
∴

QD

AB

，即

QD

6

=

2y-8

10

，
∴QD═

6y-24

5

，
∵S_△CQP=

1

2

×CP×QD，
∴

1

2

×（14-y）×

6y-24

5

=9
解得：y₁=3，y₂=10（不合題意，舍去）
答：當(dāng)（5-

10

）秒或3秒后，△PCQ的面積等于12.6cm²

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，應(yīng)注意應(yīng)先表示出兩直角三角形的面積所需要的邊和高，然后分情況進(jìn)行討論．