Question

10．如圖，正方形ABCD的邊長為6cm，E為CD邊上一點，∠DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q．若PQ=AE，則AP等于2或4cm．

Answer 1

分析 先由三角函數(shù)求出AE，得出AM，再證明Rt△PFQ≌Rt△ADE，得出∠FPQ=∠DAE，然后分兩種情況分別作圖求出AP即可．

解答 解：∵∠DAE=30°，
∴AE=$\frac{AD}{cos30°}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$4$\sqrt{3}$（cm），
∵M為AE的中點，
∴AM=2$\sqrt{3}$cm，
①如圖1作PF⊥BC于F，交AE與G，
則∠PFQ=90°，PF=AD，
在Rt△PFQ和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PQ=AE}\\{PF=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△PFQ≌Rt△ADE（HL），
∴∠FPQ=∠DAE=30°，
∴∠APM=90°+30°=120°，
∴∠AMP=30°，
∴∠DAE=∠AMP=30°，
∵∠AMP=∠PMG，
∴△APM∽△PGM，
∴$\frac{AP}{PG}$=$\frac{AM}{AP}$，
∴cot30°=$\frac{AP}{PG}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AM}{AP}$=$\sqrt{3}$，
即$\frac{2\sqrt{3}}{AP}$=$\sqrt{3}$
∴AP=2cm．
②如圖2所示：作PF⊥BC于F，
同理Rt△PFQ≌Rt△ADE，
∴∠FPQ=∠DAE，
∵∠FPQ+∠APM=90°，
∴∠DAE+∠APM=90°，
∴∠AMP=90°=∠D，
∵∠PAM=∠DAE，
∴△APM∽△AED，
∴$\frac{AP}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$，
即$\frac{AP}{4\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$，
∴AP=4cm．
故答案為2或4．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．