Question

2．如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，AB=4，OB=2，拋物線過A、B、C三點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)D．一動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿DO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止，點(diǎn)Q與點(diǎn)P同時(shí)停止．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△BCM以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB、OB的長(zhǎng)，即可得到A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；由于四邊形ABCO是平行四邊形，則AB=OC，由此可求出OC的長(zhǎng)，即可得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸方程，使得△BCM以BC為腰的等腰三角形，則BC=BM，進(jìn)而可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）由于∠PBO、∠QOB都是直角，對(duì)應(yīng)相等，若以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似，則有兩種情況：①P、Q在y軸同側(cè)，②P、Q在y軸兩側(cè)；每種情況又分為△PBO∽△QOB（此時(shí)兩者全等），△PBO∽△BOQ兩種情況；根據(jù)不同的相似三角形所得到的不同的比例線段即可求出t的值．

解答 解：
（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)B，
∴c=2．
由題意，有$\left\{\begin{array}{l}16a-4b+2=0\\ 16a+4b+2=2.\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{16}\\ b=\frac{1}{4}.\end{array}\right.$，
∴所求拋物線的解析式為$y=-\frac{1}{16}{x^2}+\frac{1}{4}x+2$；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M，使得△BCM以BC為腰的等腰三角形，理由如下：
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)E，將拋物線的解析式配方，得$y=-\frac{1}{16}{（{x-2}）^2}+2\frac{1}{4}$．
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，
若使得△BCM以BC為腰的等腰三角形，則△OBC≌△EBM，
所以M的坐標(biāo)為（2，6），（2，-2）；
（3）若使以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴有$\frac{BP}{OB}=\frac{OQ}{BO}$或$\frac{BP}{OB}=\frac{BO}{OQ}$，
即PB=OQ或OB²=PB•QO．
①若P、Q在y軸的同側(cè)．如圖1

當(dāng)PB=OQ時(shí)，t=8-3t，
∴t=2．
當(dāng)OB²=PB•QO時(shí)，t（8-3t）=4，即3t²-8t+4=0．
解得${t_1}=2，{t_2}=\frac{2}{3}$．
②當(dāng)P、Q在y軸的兩側(cè)；如圖2

當(dāng)PB=OQ時(shí)，Q、C重合，P、A重合，此時(shí)t=4；
當(dāng)OB²=PB•QO時(shí)，t（3t-8）=4，
即3t²-8t-4=0，
解得t=$\frac{4±2\sqrt{7}}{3}$；
∵t=$\frac{4-2\sqrt{7}}{3}$＜0，故舍去；
∴t=$\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$；
∴當(dāng)t=2或t=$\frac{2}{3}$，t=4或t=$\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$秒時(shí)，以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用及數(shù)學(xué)分類思想的運(yùn)用．