Question

11．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，若∠CAE=15°，則∠BOE的度數(shù)等于75°．

Answer 1

分析 由矩形ABCD，得到OA=OB，根據(jù)AE平分∠BAD，得到等邊三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊得到OB=BE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∴AB=BE，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=45°-15°=30°，
∠BAC=60°，
∴△BAO是等邊三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=90°-60°=30°，
∵AB=OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°．
故答案為75°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是求出∠OBC的度數(shù)和求OB=BE．