Question

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，點M在邊AD上，且AM=DM．CM、BA的延長線相交于點E．求證：
（1）AE=AB；
（2）如果BM平分∠ABC，求證：BM⊥CE．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問題,證明題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）由在平行四邊形ABCD中，AM=DM，易證得△AEM≌△DCM（AAS），即可得AE=CD=AB；
（2）由BM平分∠ABC，易證得△BCE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠E=∠DCM，
在△AEM和△DCM中，

∠E=∠DCM ∠AME=∠DMC AM=DM

，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE=CD，
∴AE=AB；

（2）∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠ABM=∠AMB，
∴AB=AM，
∵AB=AE，AM=DM，
∴點M是AD的中點，
∴BC=2AM，
∴BC=BE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．