Question

12．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB為邊在△ABC外作等邊△ABD，E是AB的中點(diǎn)，連接CE并延長交AD于F．
（1）求證：△AEF≌△BEC；
（2）連接BF，試判定BF與AD的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠FAE=∠EBC，根據(jù)ASA推出兩三角形全等即可；
（2）先推出四邊形AFBC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠AFB=90°，即可得出答案．

解答 （1）證明：∵△ABD是等邊三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，
∴∠FAE=∠EBC，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
在△AEF和△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠EBC}\\{AE=BE}\\{∠FEA=∠BEC}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△BEC（ASA）；

（2）解：BF⊥AD，
理由是：∵△AEF≌△BEC，
∴EF=EC，
∵AE=BE，
∴四邊形AFBC是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形AFBC是矩形，
∴∠BFA=90°，
∴BF⊥AD．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能推出△AEF≌△BEC是解此題的關(guān)鍵．