Question

2．如圖，一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，4）和點(diǎn)C（4，0），該拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式及頂點(diǎn)D坐標(biāo)．
（2）如圖，若P為線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAB的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）過拋物線頂點(diǎn)D，作DE⊥x軸于E點(diǎn)，F(xiàn)（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以BF為直徑的圓與線段DE有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），把（0，4）代入求得a=-$\frac{1}{2}$，從而可求得拋物線的解析式，然后依據(jù)配方法可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）依據(jù)待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式為y═-$\frac{3}{2}$x+6．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-$\frac{3}{2}$a+6），則PM=-$\frac{3}{2}$a+6，然后根據(jù)S_PMAB=S_△AOB+S_PMOB可求得四邊形PMAB的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，最后依據(jù)配方法可求得四邊形的最大面積以及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）先依據(jù)勾股定理可求得BF²=m²+16，即r=$\frac{{m}^{2}}{4}+4$，當(dāng)如圖1所示；當(dāng)圓G與DE相切時(shí)，GH=r=（1-$\frac{m}{2}$）得到（1-$\frac{m}{2}$）²=$\frac{{m}^{2}}{4}$+4，可求得m=-3，
如圖2所示：點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)且該圓經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)．由兩點(diǎn)間的距離公式可知DG²=r²=（$\frac{m}{2}-1$）²+（$\frac{9}{2}-2$）²可知$\frac{{m}^{2}}{4}$+4=（$\frac{m}{2}$-1）²+（$\frac{5}{2}$）²，從而可解得m=$\frac{13}{4}$，故此可求得m的取值范圍是-3≤m≤$\frac{13}{4}$．

解答 解：（1）由題意設(shè)y=a（x+2）（x-4），把（0，4）代入得：-8a=4，
解得：a=-$\frac{1}{2}$．
∴該拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4）．
整理得：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x+4．
∵y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x+4=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，$\frac{9}{2}$）．
（2）設(shè)直線CD的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
∵把C（4，0），D（1，$\frac{9}{2}$）代入得k=-$\frac{3}{2}$，b=6，
∴直線CD的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{3}{2}$x+6．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-$\frac{3}{2}$a+6），
∵S_PMAB=S_△AOB+S_PMOB，
∴四邊形PMAB的面積=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{2}$a+6+4）×a=-$\frac{3}{4}$a²+5a+4=-$\frac{3}{4}$（a-$\frac{10}{3}$）²+$\frac{37}{3}$．
∴當(dāng)a=$\frac{10}{3}$時(shí)，四邊形PMAB的面積最大，最大面積為$\frac{37}{3}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{10}{3}$，1）．
（3）∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）
∴圓心G的坐標(biāo)為（$\frac{m}{2}$，2）．
在Rt△BOF中由勾股定理可知：BF²=OB²+OF²=16+m²=4r²．
①如圖1所示；當(dāng)圓G與DE相切時(shí)．

∵DE與圓G相切，
∴r=1-$\frac{m}{2}$．
r²=$\frac{{m}^{2}}{4}$+4．
∴（1-$\frac{m}{2}$）²=$\frac{{m}^{2}}{4}$+4．
解得：m=-3．
②如圖2所示：點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)且該圓經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)．

∵點(diǎn)D在圓G上，
∴DG²=（$\frac{m}{2}-1$）²+（$\frac{9}{2}-2$）²=r²．
∴$\frac{{m}^{2}}{4}$+4=（$\frac{m}{2}$-1）²+（$\frac{5}{2}$）²．
解得：m=$\frac{13}{4}$．
綜上所述，m的取值范圍為-3≤m≤$\frac{13}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法求二次函數(shù)的最值、三角形、梯形的面積公式、勾股定理、切線的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式，根據(jù)圓與線段DE的關(guān)系列出關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．