Question

如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，D是直線BC上一點，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，若△BCE的面積為

3

，則線段CD的長為

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：作EH⊥BC于H，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BC=AB=4，∠ABC=∠ACB=60°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ACE=∠ABD=60°，CE=BD，利用平角定義可計算出∠ECH=60°，再根據(jù)三角形面積公式求出EH=

3

2

，然后在Rt△CEH中，利用∠ECH的正弦可求出CE=1，則BD=1，于是CD=BC-BD=3．

解答：解：作EH⊥BC于H，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BC=AB=4，∠ABC=∠ACB=60°，
∵△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=60°，CE=BD，
∴∠ECH=180°-∠ACB-∠ACE=60°，
∵△BCE的面積為

3

，
∴

1

2

•BC•EH=

3

，即

1

2

×4×EH=

3

，解得EH=

3

2

，
在Rt△CEH中，∵sin∠ECH=

EH

CE

，
∴CE=

3 2

sin60°

=1，
∴BD=1，
∴CD=BC-BD=4-1=3．
故答案為3．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形．