Question

如圖，CD∥AB，CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，過點E作直線垂直CD于點D，交AB于點A，則下列關(guān)系式中成立的有（　�。�
①

CD

AD

=

DE

AE

；②

CD

AE

=

DE

AB

；③

CE

DE

=

BE

AB

；④CE²=CD•BC；⑤BE²=AE•BC．

• A、2個
• B、3個
• C、4個
• D、5個

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：如圖，作輔助線；首先證明∠BEC=90°；運用勾股定理證明CD=CF，BA=BF；由射影定理證明CE²=CD•BC；BE²=AB•BC，得到④成立，⑤不成立；證明△DCE∽△AEB，得到

CD

AE

=

DE

AB

，

CE

DE

=

BE

AB

，故①不成立，②、③成立．

解答：解：如圖，過點E作EF⊥BC于點F；
∵CD∥AB，CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，
∴∠DCE=∠FCE（設(shè)為α），∠ABE=∠FBE（設(shè)為β），
且2α+2β=180°，
∴α+β=90°，∠BEC=180°-90°=90°；
∵AD⊥DC，DC∥AB，
∴AD⊥AB；而CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，
∴ED=EF，EA=EF；由勾股定理得：
CD=CF，BA=BF；由射影定理得：
CE²=CF•BC，BE²=BF•BC，
∴CE²=CD•BC；BE²=AB•BC，
∴④成立，⑤不成立；
∵∠D=∠BEC=90°，
∴∠DCE+∠DEC=∠DEC+∠AEB，
∴∠DCE=∠AEB，而∠D=∠A，
∴△DCE∽△AEB，
∴

CD

AE

=

DE

AB

，

CE

DE

=

BE

AB

，
∴①不成立，②、③成立，
故選B．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理、射影定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，將分散的條件集中．