Question

如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，切線分別是A，B．CD是⊙O的直徑，直線AC，BD相交于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)直徑CD繞圓心旋轉(zhuǎn)時(shí)，∠E的大小與∠P有關(guān)系嗎？如果有，找出這個(gè)數(shù)量關(guān)系并說明理由．
（2）如果∠E=30°，PA=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）∠P=2∠E；連接OA、OB，先證明∠E=90°-∠BDA，再證明∠AOB=2∠BDA，∠P=180°-∠AOB，即可證出∠P=2∠E．
（2）連接AB，作OF⊥AB于的F，先證明△PAB是等邊三角形，得出AB=PA=6，AF=

1

2

AB=3，再求出∠AOF=60°，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AO即可．

解答：解：（1）有關(guān)系，∠P=2∠E；
理由如下：連接OA、OB，如圖所示：
∵CD為直徑，
∴∠CAD=90°，
∴∠E=90°-∠BDA，
∵∠BDA與∠BOA對的弧為

AB

，
∴∠AOB=2∠BDA，
∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠P=180°-∠AOB，
∴∠P=180°-2∠BDA=2（90°-∠BDA），
∴∠P=2∠E．
（2）連接AB，作OF⊥AB于的F，如圖所示：
∵∠E=30°，
∴∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵PA=PB，
∴△PAB是等邊三角形，
∴AB=PA=6，
∴AF=

1

2

AB=3，
∵∠AOF=

120°

2

=60°，
∴AO=

AF

sin∠AOF

=

3

3 2

=2

3

，
即⊙O的半徑為2

3

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定以及銳角三角函數(shù)的知識；主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．