Question

14．2015年以來．安徽省高速公路建設(shè)穩(wěn)步推進，相繼有十條高速公路建成通車．實現(xiàn)了所有的縣在半小時內(nèi)通達高速．全省高速公路通車里程突破4200公里．如圖是某高速單向過山隧道截面設(shè)計圖．隧道橫截面呈拋物線形，設(shè)計AB=6米，最高點P點距地面8米．
（1）若以AB所在直線為橫軸．AB的中垂線為縱軸建立平面直角坐標系．試確定該拋物線的解析式；
（2）在距地面3米高處，隧道的寬度是多少？
（3）若設(shè)計要求隧道通過的截面矩形CDEF的寬CD不小于4米，高CE不小于4.2米．則該隧道設(shè)計是否符合要求？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=ax²+8，將點B（3，0）代入求得a的值即可得；
（2）令y=3時求得x的值，繼而可得隧道的寬度；
（3）令x=2時，求出y的值與4.2比較大小可得．

解答 解：（1）如圖，以AB所在直線為橫軸．AB的中垂線為縱軸建立平面直角坐標系，

由題意，設(shè)拋物線解析式為y=ax²+8，
將點B（3，0）代入，得：9a+8=0，解得：a=-$\frac{8}{9}$，
∴該拋物線的解析式的解析式為：y=-$\frac{8}{9}$x²+8；

（2）當y=3時，-$\frac{8}{9}$x²+8=3，解得：x=±$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，
∴隧道的寬度是2×$\frac{3\sqrt{10}}{4}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$米；

（3）∵當x=2時，y=-$\frac{8}{9}$×2²+8=$\frac{40}{9}$＞4.2，
∴該隧道設(shè)計符合要求．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求拋物線解析式可以使用一般式、頂點式或者交點式，因條件而定．運用二次函數(shù)解題時，可以給自變量（或者函數(shù)）一個特殊值，求函數(shù)（自變量）的值，解答題目的問題．