Question

4．已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（1，-3），且與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過P點(diǎn)作PE垂直于x軸于E，且PE：AE=3：5．
（1）求這個一次函數(shù)的解析式；
（2）求一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用PE⊥x軸得到E（1，0），PE=3，再利用PE：AE=3：5得到AE=5，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）或（-4，0），然后分兩種情況利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）對于（1）中的兩個解析式，分別求出對應(yīng)的B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式計算．

解答 解：（1）∵P（1，-3），PE⊥x軸，
∴E（1，0），PE=3，
∵PE：AE=3：5，
∴AE=5，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）或（-4，0），
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）時，把A（6，0），P（1，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{5}}\\{b=-\frac{18}{5}}\end{array}\right.$，此時一次函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{5}$x-$\frac{18}{5}$；
當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）時，把A（6，0），P（1，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，此時一次函數(shù)解析式為y=-$\frac{3}{5}$x-$\frac{12}{5}$；
∴一次函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{5}$x-$\frac{18}{5}$或y=-$\frac{3}{5}$x-$\frac{12}{5}$；
（2）當(dāng)y=0時，y=$\frac{3}{5}$x-$\frac{18}{5}$=-$\frac{18}{5}$，則B（0，-$\frac{18}{5}$），則一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{18}{5}$=$\frac{54}{5}$；
當(dāng)y=0時，y=-$\frac{3}{5}$x-$\frac{12}{5}$=-$\frac{12}{5}$，則B（0，-$\frac{12}{5}$），則一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)y=kx+b；再將自變量x的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；然后解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式．