Question

20．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結論：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CDFE的面積保持不變；
③△CDE面積的最大值為8；
④四邊形CDFE不可能為正方形；
⑤DE長度的最小值為4．
其中正確的結論是（填序號）???①②③．

Answer 1

分析 ①連接CF，證明△ADF≌△CEF，得到△EDF是等腰直角三角形；
②根據(jù)△ADF≌△CEF，得到S_{四邊形CEFD}=S_△AFC；
③求出DF的最小值，根據(jù)當DE最小時，DF也最小進行計算即可；
④根據(jù)中點的性質和直角三角形的性質得到四邊形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理進行判斷；
⑤由③的結論進行計算即可．

解答 解：①連接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，①正確；
②∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF
∴S_{四邊形CEFD}=S_△AFC，②正確；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最小，
當DF⊥AC時，DE最小，此時DF=$\frac{1}{2}$BC=4．
∴DE=$\sqrt{2}$DF=4$\sqrt{2}$；
當△CEF面積最大時，此時△DEF的面積最�。�
此時S_△CEF=S_{四邊形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8，③正確；
④當D、E分別為AC、BC中點時，CD=DF=FE=EC，
四邊形CDFE是菱形，又∠C=90°，
∴四邊形CDFE是正方形，④錯誤；
⑤由③可知當DE最小時，DF也最小，
DF的最小值是4，則DE的最小值為4$\sqrt{2}$，⑤錯誤，
故答案為：①②③．

點評 本題考查的是正方形的判定、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性質定理、理解點到直線的距離的概念是解題的關鍵．