Question

3．如圖，拋物線y=-$\frac{3}{8}$x²$-\frac{3}{4}$x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上．且OD=$\frac{3}{2}$．連接CD，已知點(diǎn)E（0，-1），
（1）求直線AC的解析式；
（2）如圖1，F(xiàn)為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過F作x軸的平行線交CD于點(diǎn)G．當(dāng)△EFG面積最大時(shí)，在y軸上取一點(diǎn)M，在拋物線對稱軸上取一點(diǎn)N，求FM+MN+NB的最小值；
（3）如圖2，點(diǎn)P在線段OC上且OP=OB，連接BP，將△OBP沿x軸向左平移，得到△O′B′P′，當(dāng)點(diǎn)P′恰好落在AC上時(shí)，將△P′O′A繞點(diǎn)P′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△P′O′A′為△P′O″A′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)直線A′O″分別交x軸，直線AC于H，I兩點(diǎn)，是否存在這樣的H，I，使△AHI為等腰三角形？若存在，求此時(shí)AI的長．

Answer 1

分析 （1）先求得點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式即可；
（2）先求得CD的解析式，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，$\frac{3}{4}$a+3），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，2x+3）．然后依據(jù)點(diǎn)F和點(diǎn)G的坐標(biāo)相等可求得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)（用含a的式子表示），從而可求得FG的上，然后列出△FGE的面積與a的函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得a的值，從而得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)N′，在x軸上取點(diǎn)E使NN′=BE=2，則E（4，0）．然后證明MN=MN′、BN=N′E，由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)F、M、N′、E在一條直線上時(shí)，F(xiàn)M+MN+NB有最小值，最后依據(jù)勾股定理求的FE的值即可；
（3）如圖2所示：當(dāng)AI=AH時(shí)，作AM平分∠CAO，交AC于點(diǎn)M，作MN⊥AC，垂足為N．先利用面積法求得OM的值，然后可求得tan∠MOA的值，然后在Rt△IP′O″中，利用銳角三角函數(shù)的定義可求得IP′的值，最后依據(jù)AI=IP′-AP′求解即可；如圖3所示：當(dāng)AH=IH時(shí)．可證明△IP′A′為等腰三角形即IP′=P′A′；如圖4所示：當(dāng)AI=AH時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥IH，可證明∠IP′O″=∠IAM，然后在Rt△IO″P′利用銳角三角函數(shù)的定義可求得IP′的長，最后依據(jù)AI=IP′+AP′求解即可；如圖5所示：當(dāng)IA=IH時(shí)．作IM⊥P′A′．可證明△IP′A′為等腰直角三角形，然后再Rt△IMP′可利用銳角三角函數(shù)的定義求得IP′的長．，最后依據(jù)AI=IP′+AP′求解即可．

解答 解：（1）把x=0代入得：y=3，
∴C（0，3）．
把y=0代入得：0=-$\frac{3}{8}$x²$-\frac{3}{4}$x+3，解得x=2或x=-4．
∴A（-4，0）、B（2，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將C（0，3）、A（-4，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{3}{4}$，b=3．
∴直線AC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3．

（2）∵OD=$\frac{3}{2}$，
∴D（-$\frac{3}{2}$，0）．
設(shè)CD的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{-\frac{3}{2}m+n=0}\end{array}\right.$，解得n=3，m=2，
∴直線CD的解析式為y=2x+3．
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，$\frac{3}{4}$a+3），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，2x+3）．
∵FG∥x軸，
∴$\frac{3}{4}$a+3=2x+3，解得：x=$\frac{3}{8}$a．
∴FG=-$\frac{5}{8}$a．
∴△FGE的面積=$\frac{1}{2}$FG•|G_y-E_y|=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{5}{8}$a）×（$\frac{3}{4}$a+4）=-$\frac{15}{64}$a²-$\frac{5}{4}$a．
∴當(dāng)a=-$\frac{8}{3}$時(shí)，△FGE的面積有最大值．
∴F（-$\frac{8}{3}$，1）．
如圖1所示：作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)N′，在x軸上取點(diǎn)E使NN′=BE=2，則E（4，0）．

∵N與N′關(guān)于y軸對稱，
∴MN=MN′．
∵NN′∥BE且NN′=BE，
∴四邊形NN′EB為平行四邊形．
∴BN=N′E．
∴FM+MN+NB=AM+MN′+N′E．
由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)F、M、N′、E在一條直線上時(shí)，F(xiàn)M+MN+NB有最小值，
∴FM+MN+NB=EF=$\sqrt{（4+\frac{8}{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{409}}{3}$．
（3）如圖2所示：當(dāng)AI=AH時(shí)，作AM平分∠CAO，交AC于點(diǎn)M，作MN⊥AC，垂足為N．

∵直線AC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3，
∵AM平分∠CAO，MO⊥AO，MN⊥AC，
∴MN=MO．
∵AO=4，OC=3，
∴AC=5．
設(shè)MN=MO=a．
∵△AOC的面積=$\frac{1}{2}$AC•MN+$\frac{1}{2}$AO•OM=$\frac{1}{2}$AO•OC，
∴$\frac{1}{2}$×5×a+$\frac{1}{2}$×4×a=$\frac{1}{2}$×3×4，解得：a=$\frac{4}{3}$．
∴MO=$\frac{4}{3}$．
∴tan∠MAO=$\frac{\frac{4}{3}}{4}$=$\frac{1}{3}$．
∵AI=AH，
∴∠AIH=∠AHI．
又∵∠AIH+∠AHI=∠CAO，AM平分∠CAO，
∴tan∠AIO″=tan∠MAO．
∴tan∠AIO″=tan∠MAO=$\frac{1}{3}$．
∵P′O″=P′O′=OP=PB=2，
∴IO″=6．
依據(jù)勾股定理可知IP′=2$\sqrt{10}$．
∵$\frac{P′O′}{AP′}$=$\frac{3}{5}$，
∴AP′=$\frac{10}{3}$．
∴AI=IP′-AP′=2$\sqrt{10}$-$\frac{10}{3}$．
如圖3所示：當(dāng)AH=IH時(shí)．

∵AH=IH，
∴∠IAH=∠AIH．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠IAH=∠P′A′I．
∴∠P′A′I=∠P′IA′．
∴P′I=P′A′．
∴P′I=AP′=$\frac{10}{3}$．
∴AI=$\frac{20}{3}$．
如圖4所示：當(dāng)AI=AH時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥IH．

∵P′O″⊥IH，AM⊥IH，
∴O″P′∥AM．
∴∠IAM=∠IP′O″．
∵AI=AH，AM⊥IH，
∴∠IAM=∠IP′O″．
∴$\frac{IO″}{P′O″}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{IO″}{2}=\frac{1}{3}$，解得：IO″=$\frac{2}{3}$．
依據(jù)勾股定理得：IP′=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．
∴AI=AP′+IP′=$\frac{10+2\sqrt{10}}{3}$．
如圖5所示：當(dāng)IA=IH時(shí)．作IM⊥P′A′．

∵AI=IH，
∴∠IAH=∠IHA．
∵IA′P′=P′AO′，
∴∠IA′M=∠IHA．
∴P′A′∥AH．
∴△IP′A′為等腰三角形．
又∵IM⊥P′A′，
∴P′M=MA′=$\frac{5}{3}$．
∴IP′=$\frac{25}{12}$．
∴AI=$\frac{10}{3}$+$\frac{25}{12}$=$\frac{65}{12}$．
綜上所述，當(dāng)△AHI為等腰三角形時(shí)，AI的長為2$\sqrt{10}$-$\frac{10}{3}$或$\frac{20}{3}$或$\frac{10+2\sqrt{10}}{3}$或$\frac{65}{12}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、軸對稱圖形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，將FM+MN+NB轉(zhuǎn)化為EF的長是解答問題（2）的關(guān)鍵，根據(jù)題意畫出圖形是解答問題（3）的關(guān)鍵．